Algebra Lineare

Algebra Lineare: Fondamenti Teorici
1. Introduzione all'Algebra Lineare
Cos'è l'Algebra Lineare?	L'algebra lineare è il ramo della matematica che studia i vettori, gli spazi vettoriali (o spazi lineari), le trasformazioni lineari e i sistemi di equazioni lineari. È fondamentale in molti campi: Fisica e ingegneria (circuiti elettrici, meccanica, sistemi di controllo) Computer grafica (trasformazioni geometriche, rendering) Machine learning e intelligenza artificiale Economia e ricerca operativa Analisi dei dati e statistica
2. Vettori
Definizione di Vettore	Un vettore è un elemento di uno spazio vettoriale. Nel contesto dell'algebra lineare numerica, un vettore può essere rappresentato come una n-upla ordinata di numeri. Vettore colonna in $\mathbb{R}^n$: $$\mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix}$$ Vettore riga: $$\mathbf{v}^T = \begin{bmatrix} v_1 & v_2 & \cdots & v_n \end{bmatrix}$$ Esempio in $\mathbb{R}^3$: $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{bmatrix}$
Operazioni con Vettori	Somma di vettori: Dati $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{R}^n$ $$\mathbf{u} + \mathbf{v} = \begin{bmatrix} u_1 + v_1 \\ u_2 + v_2 \\ \vdots \\ u_n + v_n \end{bmatrix}$$ Moltiplicazione per uno scalare: Dato $k \in \mathbb{R}$ $$k\mathbf{v} = \begin{bmatrix} kv_1 \\ kv_2 \\ \vdots \\ kv_n \end{bmatrix}$$ Prodotto scalare (o interno): $$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + \cdots + u_nv_n = \sum_{i=1}^{n} u_i v_i$$
3. Matrici
Definizione di Matrice	Una matrice è una tabella rettangolare di numeri disposti in righe e colonne. Una matrice $A$ di dimensione $m \times n$ (m righe, n colonne) si scrive: $$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}$$ dove $a_{ij}$ è l'elemento nella riga $i$ e colonna $j$. Esempio matrice $2 \times 3$: $$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$$
Matrice Trasposta	La trasposta di una matrice $A$ di dimensione $m \times n$, indicata con $A^T$, è la matrice di dimensione $n \times m$ ottenuta scambiando righe e colonne: Se $A = [a_{ij}]_{m \times n}$, allora $A^T = [a_{ji}]_{n \times m}$ Esempio: $$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}_{2 \times 3} \quad \Rightarrow \quad A^T = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}_{3 \times 2}$$ La prima riga di $A$ diventa la prima colonna di $A^T$, la seconda riga diventa la seconda colonna, ecc.
Tipi di Matrici Speciali	Matrice quadrata: $m = n$ (stesso numero di righe e colonne) Matrice identità: Matrice quadrata con 1 sulla diagonale e 0 altrove $$I_n = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}$$ Matrice nulla: Tutti gli elementi sono zero: $O_{m \times n}$ Matrice diagonale: Elementi non nulli solo sulla diagonale principale Matrice triangolare superiore: $a_{ij} = 0$ per $i > j$ Matrice triangolare inferiore: $a_{ij} = 0$ per $i < j$ Matrice simmetrica: $A = A^T$ (uguale alla sua trasposta)
Operazioni con Matrici	📘 Per approfondire: Operazioni con Matrici - Teoria, Esempi e Codice Le operazioni fondamentali includono: Somma e sottrazione di matrici Moltiplicazione per uno scalare Moltiplicazione tra matrici (prodotto righe per colonne) Trasposizione di matrici Inversa di una matrice (quando esiste)
4. Determinante
Definizione	Il determinante è una funzione che associa ad ogni matrice quadrata un numero reale. Si indica con $\det(A)$ o $\|A\|$. Interpretazione geometrica: Il determinante rappresenta il fattore di scala per il volume (o area in 2D) quando si applica la trasformazione lineare associata alla matrice. 📘 Per approfondire: Determinanti - Metodi di Calcolo e Proprietà
Proprietà del Determinante	$\det(I) = 1$ (determinante della matrice identità) $\det(AB) = \det(A) \cdot \det(B)$ (proprietà moltiplicativa) $\det(A^T) = \det(A)$ (determinante della trasposta) Se $A$ ha una riga o colonna nulla, allora $\det(A) = 0$ Scambiando due righe (o colonne), il determinante cambia segno Se $A$ è triangolare, $\det(A)$ è il prodotto degli elementi sulla diagonale $\det(kA) = k^n \det(A)$ per una matrice $n \times n$
5. Rango di una Matrice
Definizione di Rango	Il rango di una matrice $A$, indicato con $\text{rank}(A)$ o $\text{rg}(A)$, è il numero massimo di righe (o colonne) linearmente indipendenti. Equivalentemente: È la dimensione dello spazio generato dalle righe (o colonne) di $A$ È l'ordine del massimo minore non nullo di $A$ Proprietà: $0 \leq \text{rank}(A) \leq \min(m,n)$ per una matrice $m \times n$ $\text{rank}(A) = \text{rank}(A^T)$ Se $A$ è quadrata di ordine $n$: $\det(A) \neq 0 \Leftrightarrow \text{rank}(A) = n$
6. Sistemi di Equazioni Lineari
Forma Generale	Un sistema di $m$ equazioni lineari in $n$ incognite ha la forma: $$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases}$$ Forma matriciale: $$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$$ dove $A$ è la matrice dei coefficienti $(m \times n)$, $\mathbf{x}$ è il vettore delle incognite, e $\mathbf{b}$ è il vettore dei termini noti. 📘 Per approfondire: Sistemi Lineari - Teoria, Metodi Risolutivi e Codice
Classificazione dei Sistemi	Un sistema lineare può essere: In base alla compatibilità: Compatibile: ammette almeno una soluzione Incompatibile: non ammette soluzioni In base al numero di soluzioni (se compatibile): Determinato: ammette una sola soluzione Indeterminato: ammette infinite soluzioni (dipendenti da parametri liberi)
7. Teoremi Fondamentali
Teorema di Rouché-Capelli	Enunciato: Dato il sistema lineare $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$, sia $[A\|\mathbf{b}]$ la matrice completa (matrice dei coefficienti aumentata con il vettore dei termini noti). Il sistema ammette soluzione se e solo se: $$\text{rank}(A) = \text{rank}([A\|\mathbf{b}])$$ Inoltre: Se $\text{rank}(A) = \text{rank}([A\|\mathbf{b}]) = n$ (numero incognite) → sistema determinato (una soluzione) Se $\text{rank}(A) = \text{rank}([A\|\mathbf{b}]) < n$ → sistema indeterminato ($\infty^{n-r}$ soluzioni, dove $r$ è il rango) Se $\text{rank}(A) < \text{rank}([A\|\mathbf{b}])$ → sistema incompatibile (nessuna soluzione)
Teorema di Cramer	Enunciato: Dato un sistema lineare di $n$ equazioni in $n$ incognite $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$, se $\det(A) \neq 0$, allora il sistema ammette un'unica soluzione data da: $$x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)} \quad \text{per } i = 1, 2, \ldots, n$$ dove $A_i$ è la matrice ottenuta da $A$ sostituendo la $i$-esima colonna con il vettore $\mathbf{b}$. Esempio per $n=2$: $$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 = b_2 \end{cases}$$ $$x_1 = \frac{\begin{vmatrix} b_1 & a_{12} \\ b_2 & a_{22} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}}, \quad x_2 = \frac{\begin{vmatrix} a_{11} & b_1 \\ a_{21} & b_2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}}$$ Nota: Il metodo di Cramer è teoricamente elegante ma computazionalmente inefficiente per matrici grandi.
8. Applicazioni dell'Algebra Lineare
Circuiti Elettrici	Le leggi di Kirchhoff portano naturalmente a sistemi di equazioni lineari. Ogni maglia del circuito genera un'equazione lineare nelle correnti incognite. Esempio: analisi di un circuito con più maglie → sistema $A\mathbf{i} = \mathbf{V}$ dove $\mathbf{i}$ è il vettore delle correnti.
Geometria Analitica	Rette e piani nello spazio sono descritti da equazioni lineari Intersezione di due rette nel piano → sistema $2 \times 2$ Intersezione di tre piani nello spazio → sistema $3 \times 3$
Computer Grafica	Le trasformazioni geometriche (rotazione, scaling, traslazione) sono rappresentate da matrici. Concatenare trasformazioni equivale a moltiplicare matrici.