Limiti di funzioni
Definizione di limite
Dato $f: A \to \mathbb{R}$ con $A \subseteq \mathbb{R}$, e dato $x_0$ punto di accumulazione per $A$, si dice che $f$ ha limite $L$ per $x$ che tende a $x_0$ se:
In notazione si scrive: $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$
Limiti laterali
Limite destro: Si dice che $f$ ha limite destro $L$ per $x$ che tende a $x_0$ se:
In notazione si scrive: $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = L$
Limite sinistro: Si dice che $f$ ha limite sinistro $L$ per $x$ che tende a $x_0$ se:
In notazione si scrive: $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = L$
Teorema dell'unicità del limite
Se esiste il limite di una funzione $f(x)$ per $x$ che tende a $x_0$, allora tale limite è unico.
Teorema della permanenza del segno
Se $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$ e $L > 0$ (rispettivamente $L < 0$), allora esiste un intorno di $x_0$ in cui $f(x) > 0$ (rispettivamente $f(x) < 0$).
Teorema del confronto (o dei due carabinieri)
Siano $f(x)$, $g(x)$ e $h(x)$ tre funzioni definite in un intorno di $x_0$ eccetto al più in $x_0$. Se:
- $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ per ogni $x$ dell'intorno privato di $x_0$
- $\lim_{x \to x_0} g(x) = \lim_{x \to x_0} h(x) = L$
Allora esiste anche $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$.
Teoremi sui limiti delle funzioni
| Teoremi algebrici sui limiti | |
|---|---|
| Limite della somma | Se $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$ e $\lim_{x \to x_0} g(x) = M$, allora: $$\lim_{x \to x_0} [f(x) + g(x)] = L + M$$ |
| Limite del prodotto | Se $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$ e $\lim_{x \to x_0} g(x) = M$, allora: $$\lim_{x \to x_0} [f(x) \cdot g(x)] = L \cdot M$$ |
| Limite del quoziente | Se $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$ e $\lim_{x \to x_0} g(x) = M$ con $M \neq 0$, allora: $$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}$$ |
| Limite della potenza | Se $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$, allora: $$\lim_{x \to x_0} [f(x)]^n = L^n \quad (n \in \mathbb{N})$$ |
| Limite della composizione | Se $\lim_{x \to x_0} g(x) = L$ e $f$ è continua in $L$, allora: $$\lim_{x \to x_0} f(g(x)) = f(L)$$ |
Limiti notevoli
| Limiti notevoli fondamentali | |
|---|---|
| Funzione seno | $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$ |
| Funzione coseno | $$\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$$ |
| Funzione esponenziale | $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x} = 1$$ |
| Funzione logaritmica | $$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$$ |
| Definizione di $e$ | $$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$$ |
Esempio: Calcolo di un limite
Calcolare il limite: $\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2}$
Svolgimento:
Utilizziamo il limite notevole $\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$
Quindi: $\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$
Esempio: Forme indeterminate
Calcolare il limite: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}$
Svolgimento:
Scriviamo: $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3 = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3 = 1 \cdot 3 = 3$$
dove abbiamo usato il limite notevole $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ con la sostituzione $t = 3x$.
Forme indeterminate
Le principali forme indeterminate sono:
- $\frac{0}{0}$ - Rapporto di infinitesimi
- $\frac{\infty}{\infty}$ - Rapporto di infiniti
- $0 \cdot \infty$ - Prodotto di infinitesimo per infinito
- $\infty - \infty$ - Differenza di infiniti
- $0^0, 1^{\infty}, \infty^0$ - Forme indeterminate esponenziali
Per risolvere queste forme indeterminate si utilizzano tecniche come:
- Scomposizione in fattori
- Razionalizzazione
- Teorema di de l'Hôpital
- Sostituzione con limiti notevoli
- Sviluppi asintotici e di Taylor
Teorema di de l'Hôpital
Se $\lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} g(x) = 0$ o $\lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} g(x) = \pm\infty$, e se $g'(x) \neq 0$ in un intorno di $x_0$ privato di $x_0$, allora:
a condizione che il limite del rapporto delle derivate esista o sia $\pm\infty$.