Numeri Complessi
| Numeri Complessi: Rappresentazione e Operazioni | |
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| 1. Introduzione ai Numeri Complessi | |
| Definizione |
Un numero complesso è un numero che può essere espresso nella forma $z = a + bi$, dove $a$ e $b$ sono numeri reali e $i$ è l'unità immaginaria che soddisfa l'equazione $i^2 = -1$.
Nell'espressione $z = a + bi$:
L'insieme dei numeri complessi viene indicato con $\mathbb{C}$. |
| Piano Complesso |
I numeri complessi possono essere rappresentati geometricamente nel piano complesso (o piano di Argand-Gauss):
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| 2. Rappresentazioni dei Numeri Complessi | |
| Forma Algebrica |
È la rappresentazione standard: $z = a + bi$
Esempio: $z = 3 + 4i$ |
| Forma Trigonometrica (o Polare) |
Un numero complesso può anche essere rappresentato come:
$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ dove:
Nota: l'argomento $\theta$ è determinato univocamente solo quando si specifica il quadrante in cui si trova $z$. |
| Forma Esponenziale |
Utilizzando la formula di Eulero $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$, possiamo scrivere:
$z = re^{i\theta}$ Questa rappresentazione è particolarmente utile nelle operazioni di moltiplicazione, divisione e potenza dei numeri complessi. |
| Conversioni |
Da forma algebrica a polare:
$r = \sqrt{a^2 + b^2}$ $\theta = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)$ (con attenzione ai quadranti) Da forma polare a algebrica: $a = r\cos\theta$ $b = r\sin\theta$ |
| 3. Operazioni con i Numeri Complessi | |
| Addizione e Sottrazione |
Con $z_1 = a + bi$ e $z_2 = c + di$:
Addizione: $z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i$ Sottrazione: $z_1 - z_2 = (a - c) + (b - d)i$ Geometricamente, l'addizione di numeri complessi segue la regola del parallelogramma, proprio come l'addizione di vettori nel piano. |
| Moltiplicazione |
In forma algebrica:
$z_1 \cdot z_2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i$ In forma polare: Se $z_1 = r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1)$ e $z_2 = r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2)$, allora: $z_1 \cdot z_2 = r_1r_2[\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)]$ In forma esponenziale: Se $z_1 = r_1e^{i\theta_1}$ e $z_2 = r_2e^{i\theta_2}$, allora: $z_1 \cdot z_2 = r_1r_2e^{i(\theta_1 + \theta_2)}$ |
| Divisione |
In forma algebrica:
$\frac{z_1}{z_2} = \frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \frac{ac + bd + (bc - ad)i}{c^2 + d^2}$ In forma polare: $\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}[\cos(\theta_1 - \theta_2) + i\sin(\theta_1 - \theta_2)]$ In forma esponenziale: $\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1 - \theta_2)}$ |
| Complesso Coniugato |
Il complesso coniugato di $z = a + bi$ è $\overline{z} = a - bi$
Proprietà:
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| 4. Potenze e Radici | |
| Formula di De Moivre |
Se $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$, allora per ogni numero naturale $n$:
$z^n = r^n(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta))$ In forma esponenziale: $z^n = (re^{i\theta})^n = r^n e^{in\theta}$ |
| Radici n-esime |
Le $n$ radici n-esime di un numero complesso $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ sono:
$\sqrt[n]{z}_k = \sqrt[n]{r}\left(\cos\left(\frac{\theta + 2\pi k}{n}\right) + i\sin\left(\frac{\theta + 2\pi k}{n}\right)\right)$ dove $k = 0, 1, 2, ..., n-1$ In forma esponenziale: $\sqrt[n]{z}_k = \sqrt[n]{r} \cdot e^{i\frac{\theta + 2\pi k}{n}}$ Questi $n$ numeri complessi sono equidistanti tra loro e formano i vertici di un poligono regolare di $n$ lati nel piano complesso. |
| 5. Applicazioni dei Numeri Complessi | |
| Ingegneria Elettrica |
In ingegneria elettrica, i numeri complessi sono utilizzati per rappresentare l'impedenza, che generalizza il concetto di resistenza elettrica per circuiti in corrente alternata:
$Z = R + jX$ dove:
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| Diagrammi di Bode |
I diagrammi di Bode, utilizzati nell'analisi dei sistemi di controllo, rappresentano il comportamento in frequenza di un sistema usando la matematica dei numeri complessi.
La funzione di trasferimento $H(s)$ viene valutata per $s = j\omega$ (dove $\omega$ è la frequenza), risultando in un numero complesso per ogni frequenza. Vai ai diagrammi di Bode per un'applicazione interattiva. |
| Altre Applicazioni |
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