Derivate

Teoria delle Derivate
1. Definizione di Derivata
Definizione formale	La derivata di una funzione $f(x)$ nel punto $x = x_0$ è definita come il limite del rapporto incrementale quando l'incremento tende a zero: $$f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$$ oppure in modo equivalente: $$f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$$ Se questo limite esiste ed è finito, si dice che $f(x)$ è derivabile in $x_0$.
Notazioni alternative	La derivata di una funzione $f(x)$ può essere indicata in diversi modi: $f'(x)$ - Notazione di Lagrange $\frac{df}{dx}$ o $\frac{d}{dx}f(x)$ - Notazione di Leibniz $\dot{f}$ - Notazione di Newton (usata soprattutto in fisica) $Df(x)$ - Notazione di operatore
2. Significato Geometrico
Interpretazione geometrica	Geometricamente, la derivata $f'(x_0)$ rappresenta la pendenza della retta tangente al grafico della funzione $f(x)$ nel punto $(x_0, f(x_0))$. Il rapporto incrementale $\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ rappresenta invece la pendenza della retta secante passante per i punti $(x_0, f(x_0))$ e $(x, f(x))$. Quando $x$ tende a $x_0$, la retta secante tende alla retta tangente.
Interpretazione fisica	In fisica, la derivata rappresenta il tasso di variazione di una grandezza rispetto a un'altra: La derivata della posizione rispetto al tempo è la velocità: $v(t) = \frac{ds}{dt}$ La derivata della velocità rispetto al tempo è l'accelerazione: $a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2s}{dt^2}$
3. Regole di Derivazione
Derivate delle funzioni elementari	$\frac{d}{dx}(c) = 0$ (costante) $\frac{d}{dx}(x) = 1$ (funzione identità) $\frac{d}{dx}(x^n) = n \cdot x^{n-1}$ (potenza) $\frac{d}{dx}(e^x) = e^x$ (esponenziale) $\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}$ (logaritmo naturale) $\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$ (seno) $\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$ (coseno) $\frac{d}{dx}(\tan x) = \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$ (tangente)
Regole per le operazioni	Se $f$ e $g$ sono funzioni derivabili e $c$ è una costante: Regola della somma: $\frac{d}{dx}(f(x) \pm g(x)) = f'(x) \pm g'(x)$ Regola del prodotto: $\frac{d}{dx}(f(x) \cdot g(x)) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$ Regola del quoziente: $\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2}$ Regola della catena: $\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
4. Derivate di Ordine Superiore
Definizione	La derivata seconda di $f(x)$ è la derivata della derivata prima: $$f''(x) = \frac{d}{dx}\left(f'(x)\right) = \frac{d^2f}{dx^2}$$ Procedendo allo stesso modo, si possono definire le derivate di ordine superiore: $$f^{(n)}(x) = \frac{d^nf}{dx^n}$$
Significato geometrico	La derivata seconda fornisce informazioni sulla concavità della funzione: Se $f''(x) > 0$ in un intervallo, la funzione è concava verso l'alto in quell'intervallo Se $f''(x) < 0$ in un intervallo, la funzione è concava verso il basso in quell'intervallo I punti in cui $f''(x) = 0$ possono essere punti di flesso.
5. Applicazioni delle Derivate
Studio di funzione	Le derivate sono essenziali nello studio di funzione per determinare: Crescenza e decrescenza ($f'(x) > 0$ o $f'(x) < 0$) Punti stazionari (massimi, minimi e flessi a tangente orizzontale) dove $f'(x) = 0$ Concavità ($f''(x) > 0$ o $f''(x) < 0$) Punti di flesso dove $f''(x) = 0$ e $f''(x)$ cambia segno
Problemi di ottimizzazione	Le derivate permettono di trovare valori massimi e minimi di una funzione, fondamentali per risolvere problemi di ottimizzazione in matematica, fisica, economia e ingegneria. Per trovare i punti critici, si risolve l'equazione $f'(x) = 0$ e si studia il segno della derivata prima o seconda per determinare se si tratta di massimi o minimi.
Approssimazione lineare	La derivata può essere utilizzata per approssimare una funzione in un intorno di un punto con una funzione lineare (formula di Taylor del primo ordine): $$f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$$ Questa è l'equazione della retta tangente al grafico di $f$ nel punto $(x_0, f(x_0))$.

Applicazioni interattive

Puoi utilizzare la calcolatrice di derivate per visualizzare graficamente la derivata di diverse funzioni.

Per esplorare in modo interattivo il significato geometrico della derivata, prova il nostro simulatore dinamico che permette di visualizzare tangenti, rapporto incrementale e punti critici.