Derivate

Teoria delle Derivate
1. Definizione di Derivata
Definizione formale	La derivata di una funzione $f(x)$ nel punto $x = x_0$ è definita come il limite del rapporto incrementale quando l'incremento tende a zero: $$f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$$ oppure in modo equivalente: $$f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$$ Se questo limite esiste ed è finito, si dice che $f(x)$ è derivabile in $x_0$.
Notazioni alternative	La derivata di una funzione $f(x)$ può essere indicata in diversi modi: $f'(x)$ - Notazione di Lagrange $\frac{df}{dx}$ o $\frac{d}{dx}f(x)$ - Notazione di Leibniz $\dot{f}$ - Notazione di Newton (usata soprattutto in fisica) $Df(x)$ - Notazione di operatore
2. Significato Geometrico
Interpretazione geometrica	Geometricamente, la derivata $f'(x_0)$ rappresenta la pendenza della retta tangente al grafico della funzione $f(x)$ nel punto $(x_0, f(x_0))$. Il rapporto incrementale $\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ rappresenta invece la pendenza della retta secante passante per i punti $(x_0, f(x_0))$ e $(x, f(x))$. Quando $x$ tende a $x_0$, la retta secante tende alla retta tangente.
Interpretazione fisica	In fisica, la derivata rappresenta il tasso di variazione di una grandezza rispetto a un'altra: La derivata della posizione rispetto al tempo è la velocità: $v(t) = \frac{ds}{dt}$ La derivata della velocità rispetto al tempo è l'accelerazione: $a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2s}{dt^2}$
3. Regole di Derivazione
Derivate delle funzioni elementari	$\frac{d}{dx}(c) = 0$ (costante) $\frac{d}{dx}(x) = 1$ (funzione identità) $\frac{d}{dx}(x^n) = n \cdot x^{n-1}$ (potenza) $\frac{d}{dx}(e^x) = e^x$ (esponenziale) $\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}$ (logaritmo naturale) $\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$ (seno) $\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$ (coseno) $\frac{d}{dx}(\tan x) = \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$ (tangente)
Regole per le operazioni	Se $f$ e $g$ sono funzioni derivabili e $c$ è una costante: Regola della somma: $\frac{d}{dx}(f(x) \pm g(x)) = f'(x) \pm g'(x)$ Regola del prodotto: $\frac{d}{dx}(f(x) \cdot g(x)) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$ Regola del quoziente: $\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2}$ Regola della catena: $\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
4. Derivate di Ordine Superiore
Definizione	La derivata seconda di $f(x)$ è la derivata della derivata prima: $$f''(x) = \frac{d}{dx}\left(f'(x)\right) = \frac{d^2f}{dx^2}$$ Procedendo allo stesso modo, si possono definire le derivate di ordine superiore: $$f^{(n)}(x) = \frac{d^nf}{dx^n}$$
Significato geometrico	La derivata seconda fornisce informazioni sulla concavità della funzione: Se $f''(x) > 0$ in un intervallo, la funzione è concava verso l'alto in quell'intervallo Se $f''(x) < 0$ in un intervallo, la funzione è concava verso il basso in quell'intervallo I punti in cui $f''(x) = 0$ possono essere punti di flesso.
5. Applicazioni delle Derivate
Studio di funzione	Le derivate sono essenziali nello studio di funzione per determinare: Crescenza e decrescenza ($f'(x) > 0$ o $f'(x) < 0$) Punti stazionari (massimi, minimi e flessi a tangente orizzontale) dove $f'(x) = 0$ Concavità ($f''(x) > 0$ o $f''(x) < 0$) Punti di flesso dove $f''(x) = 0$ e $f''(x)$ cambia segno
Problemi di ottimizzazione	Le derivate permettono di trovare valori massimi e minimi di una funzione, fondamentali per risolvere problemi di ottimizzazione in matematica, fisica, economia e ingegneria. Per trovare i punti critici, si risolve l'equazione $f'(x) = 0$ e si studia il segno della derivata prima o seconda per determinare se si tratta di massimi o minimi.
Approssimazione lineare	La derivata può essere utilizzata per approssimare una funzione in un intorno di un punto con una funzione lineare (formula di Taylor del primo ordine): $$f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$$ Questa è l'equazione della retta tangente al grafico di $f$ nel punto $(x_0, f(x_0))$.

Applicazione interattiva

Puoi utilizzare la calcolatrice di derivate per visualizzare graficamente la derivata di diverse funzioni.